Radon(拉当)变换：超详细讲解（附MATLAB，Python代码）

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Radon变换Radon变换是数学上用于函数或图像的一种积分变换，广泛应用于图像处理领域，尤其是在计算机断层成像(CT)中。本文档将详细介绍Radon变换的数学含义及其在图像处理中的应用。数学定义Radon变换的数学定义是将二维函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)转换为其在各个角度θ\thetaθ上的投影。设f(x,y)f(x,y)f(x,y)是定义在R2\mathbb{R}^2R2上的函数，Radon变换可以表示为：R{f}(p,θ)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)δ(xcos⁡θ+ysin⁡θ−p) dx dyR\{f\}(p,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-p)\,dx\,dyR{f}(p,θ)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−p)dxdy其中，δ\deltaδ是Diracdelta函数，ppp是在角度θ\thetaθ上的投影距离。更直观地，可以将Radon变换理解为：在给定的角度θ\thetaθ上，通过将图像f(x,y)f(x,y)f(x,y)沿垂直于θ\thetaθ的方向进行积分，得到在该角度上的投影R{f}(p,θ)R\{f\}(p,\theta)R{f}(p,θ).性质Radon变换具有以下几个重要性质：线性性质：若fff和ggg是两个函数，aaa和bbb是常数，则有R{af+bg}=aR{f}+bR{g}R\{af+bg\}=aR\{f\}+bR\{g\}R{af+bg}=aR{f}+bR{g}平移性质：若f(x,y)f(x,y)f(x,y)平移了(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)，则其Radon变换的结果也是相应平移的。旋转性质：若f(x,y)f(x,y)f(x,y)旋转了角度ϕ\phiϕ，则其Radon变换的结果也相应旋转ϕ\phiϕ.在图像处理中的应用Radon变换在图像处理中的应用非常广泛，以下是几个主要应用领域：1.计算机断层成像(CT)在CT成像中，Radon变换用于从多个角度获取对象内部结构的投影数据。这些投影数据经过反投影算法处理后，可以重建出对象的内部图像。具体步骤如下：获取投影数据：通过旋转X射线源和检测器，获取不同角度的投影数据。Radon变换：将二维图像f(x,y)f(x,y)f(x,y)转换为多个角度的投影R{f}(p,θ)R\{f\}(p,\theta)R{f}(p,θ).反投影：使用逆Radon变换将投影数据R{f}(p,θ)R\{f\}(p,\theta)R{f}(p,θ)重建回二维图像f(x,y)f(x,y)f(x,y).2.图像复原在图像复原中，Radon变换可以用于去噪和增强图像。例如，可以通过分析不同角度的投影数据，识别和去除图像中的噪声，从而提高图像质量。3.模式识别Radon变换还可以用于模式识别和特征提取。在这类应用中，可以通过分析图像在不同角度的投影数据，提取出特定模式或特征，从而实现图像分类或目标识别。逆Radon变换逆Radon变换用于将投影数据恢复成原始图像。通常使用滤波反投影算法(FilteredBackProjection,FBP)来实现。其基本步骤如下：对投影数据应用滤波操作，通常使用Ram-Lak滤波器。将滤波后的投影数据进行反投影，得到重建图像。逆Radon变换的数学表示为：f(x,y)=∫0πR{f}(p,θ) dθ,f(x,y)=\int_{0}^{\pi}R\{f\}(p,\theta)\,d\theta,f(x,y)=∫0π​R{f}(p,θ)dθ,其中，R{f}(p,θ)R\{f\}(p,\theta)R{f}(p,θ)是滤波后的投影数据。示例代码以下是一个使用Python和Scipy实现Radon变换和逆Radon变换的示例代码：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromskimage.transformimportradon,iradon#生成一个二维图像image=np.zeros((100,100))image[30:70,30:70]=1#执行Radon变换theta=np.linspace(0.,180.,max(image.shape),endpoint=False)sinogram=radon(image,theta=theta,circle=True)#执行逆Radon变换reconstruction=iradon(sinogram,theta=theta,circle=True)#显示原始图像、Radon变换结果和重建图像fig,(ax1,ax2,ax3)=plt.subplots(1,3,figsize=(15,5))ax1.set_title("Original")ax1.imshow(image,cmap=plt.cm.Greys_r)ax2.set_title("RadonTransform\n(Sinogram)")ax2.set_xlabel("Projectionangle(deg)")ax2.set_ylabel("Projectionposition(pixels)")ax2.imshow(sinogram,cmap=plt.cm.Greys_r,aspect='auto')ax3.set_title("Reconstruction\nfromRadontransform")ax3.imshow(reconstruction,cmap=plt.cm.Greys_r)plt.show()1234567891011121314151617181920212223242526结果显示：以上代码展示了用Scipy库进行Radon变换和逆Radon变换，并正确显示原始图像、Radon变换的结果（正弦图）以及重建图像。Matlab例子为了读者方便，这里再给出一个MatlabRadon变换的例子。以下是一个使用MATLAB实现Radon变换和逆Radon变换的示例代码：%生成一个二维图像image=zeros(100,100);image(30:70,30:70)=1;%执行Radon变换theta=0:179;[R,xp]=radon(image,theta);%执行逆Radon变换I=iradon(R,theta);%显示原始图像、Radon变换结果和重建图像figure;subplot(1,3,1);imshow(image,[]);title('Original');subplot(1,3,2);imagesc(theta,xp,R);xlabel('Projectionangle(degrees)');ylabel('X''');title('RadonTransform(Sinogram)');subplot(1,3,3);imshow(I,[]);title('ReconstructionfromRadontransform');1234567891011121314151617181920212223242526运行结果：效果不错！续如果读者有需求，我们将通过一系列博客展示图像处理相关的知识，所有文章均有相应代码实现。请持续关注！作者：计算小屋个人主页：计算小屋的主页