从0.999...=1到1+2+∞=-112？这究竟是数学纯粹真理的Bug，还是社会灵魂的契约？

见贤思齐

从0.999...=1 到 1 + 2 + ∞ = -1/12 ？这究竟是数学纯粹真理的Bug，还是社会灵魂的契约？ Masir123 科学羊 科学羊 马扬，专注于物理学与计算机历史研究。 科普指导人生 633篇内容 2024年09月30日 07:06 广东 大家好，我是科学羊，这里是数学篇第五季第50篇，也是本季的最后一篇。当我们提到“数学”时，很多人脑海中浮现的是冷冰冰的数字和严谨的逻辑推理。无数人认为，数学是一个由严密定理构成的完美体系，只需通过证明便能揭开其中的每个谜团。然而，这种认知其实与现实相去甚远。数学不仅仅是由逻辑构建的堡垒，它更像是一种社群共识——一种独特的“社会契约”。这种观点由著名数学家安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）在接受《量子》杂志（Quanta Magazine）采访时清晰表达出来。他带领我们从哲学角度，重新审视什么是数学证明，并打破了我们对数学的传统误解。01 数学证明：不仅仅是逻辑的严密拼图很多人误解，数学家工作在纯粹的理论框架里，脱离现实、远离具体的数值计算。然而，安德鲁指出，这种看法其实是错误的。通过黎曼猜想的例子，他向我们展示了数学家同样离不开具体的数值计算。黎曼猜想，也许是现代数学中最著名、最受关注的未解难题之一。如果让全世界的数学家投票选择他们最想证明的命题，超过一半的人会选择黎曼猜想。这不仅仅是因为它揭示了素数的分布规律，更重要的是它对整个数学结构的支撑作用。如果黎曼猜想被证明错误，数学的基础理论可能会遭受严重打击，许多基于此假设提出的其他命题将不再成立，整个数学大厦会因此倒塌一大块。黎曼猜想简而言之，就是提出一个叫做“zeta函数”的复数函数的解的实数部分，黎曼猜测这些解的实数部分都等于1/2。这个猜想发表于1859年的一篇只有8页的简短论文中，虽然篇幅不长，但其中提出的猜想却成为了数学界的难题，至今仍然没有人能找到完整的证明方法。02 计算的力量：从直觉到证明对于黎曼猜想，许多数学家曾经怀疑它仅仅是黎曼基于直觉做出的猜测，因为在那篇简短的论文中，许多关键的推导步骤都被简略带过。然而，1932年，数学家卡尔·西格尔（Carl Siegel）在哥廷根档案中发现了黎曼的手稿，才揭示了一个重要的事实：黎曼不仅仅依靠纯粹的思想，他还做了大量复杂的数值计算来支持他的猜想。西格尔的发现不仅纠正了人们对黎曼的误解，还表明，数值计算在数学中的重要性不可忽视。实际上，数值计算在数学证明中具有独特的作用。尽管计算具体值无法直接证明一个定理，但却可以在证伪上发挥关键作用。就像如果你找到一个反例能够推翻勾股定理，即使只找到一个不符合“a2+b2=c2”的三角形，也足以说明勾股定理是错的。同样，对于黎曼猜想，数学家们通过大量的计算，逐步验证了zeta函数前138个解的实数部分确实等于1/2。虽然这并不能直接证明猜想的正确性，但却证明了猜想在现有条件下并未被证伪。03 数学范式的转变：从苏格拉底到集合论在数学证明的理解上，安德鲁指出，大众普遍存在一个误区，认为证明是一个绝对客观的过程，通过一系列严密的逻辑步骤便能得出真理。然而，随着数学的发展，这种传统的看法已经逐渐被打破，尤其是随着集合论的创立，数学活动的范式发生了巨大转变。集合论是现代数学的基础，它不仅为数学家提供了一种新的方式来组织数学对象，还为实数、函数、序列等概念提供了更严格的定义。然而，集合论的出现也打破了数学家们曾经对“纯粹客观真理”的追求。通过集合论，数学家们发现，公理系统并不是唯一的。不同的公理系统，就像不同的“平行宇宙”，可以各自自洽地存在。在这些系统中，每一个都是基于一系列公理建立的，而这些公理本身则是预设的，无法通过逻辑证明其正确性。这意味着，数学并不像人们想象的那样拥有唯一的、绝对的真理。正如安德鲁所说，数学家们的梦想曾是建立一座坚不可摧的数学大厦，然而现实却是，数学界存在着多座大厦，它们互相之间并不完全一致。04 不完备定理：永远存在无法解决的问题不仅如此，数学家还发现，在每一个公理系统中，都会存在一些既无法证明也无法证伪的命题。这个发现来源于哥德尔的不完备定理。举例来说，在ZFC（Zermelo-Fraenkel公理集合论加选择公理）系统中，康托的连续统假设就是一个无法通过现有的逻辑系统证明或推翻的命题。这些未解的问题，就像每一座数学大厦中的“裂缝”，无论数学家多么努力，都无法修补。正因为如此，现代数学家不再追求那种“绝对的真理”，他们更倾向于在特定的公理系统和规则下进行研究，并接受这些“裂缝”的存在。05数学证明也是一种社会契约安德鲁的另一个观点更具颠覆性：数学证明不仅是逻辑推理的结果，它同时也是一种社会契约。数学家在工作时，不仅要遵循特定的规则和逻辑体系，还要使用大家公认的语言和符号，进行一种被广泛接受的“合作”。举个反例，2012年日本数学家望月新一宣称证明了abc猜想，但他的证明却并没有被广泛接受。原因在于，望月新一的证明不仅篇幅庞大（600多页），而且其中充斥着大量他自己创造的新符号和新理论。这些新概念让其他数学家难以理解，也难以判断他的证明是否正确。尽管最终他的证明被刊登出来，但学界对其的认可度依然非常低。望月新一的案例表明，数学不仅是个人的学术探索，它更需要在一个约定俗成的框架内进行。这种约定俗成，就是数学家之间的“社会契约”。数学家们共同遵守的规则和语言，构成了这个社会契约的基础。如果某个证明脱离了这些共识，即使它在逻辑上是正确的，也很难被接受。这一观点将数学从一个“绝对真理”的殿堂，拉回到了一个依赖社群共识的范畴。数学，归根结底，也是一项集体活动。总结：通过安德鲁·格兰维尔的观点，我们看到了一个截然不同的数学世界。它不仅仅是由纯粹的逻辑构建而成，它还依赖于社会共识和合作。数学家在不断探索未知的过程中，既遵循逻辑的严密性，也受限于社会契约的约束。这种双重性让数学显得更加复杂而有趣，也让我们重新思考，数学的本质究竟是什么。在未来的探索中，数学可能会继续向前迈进，证明更多的猜想，但它始终无法脱离人类合作与交流的范畴。数学，不仅是科学的核心，也是人类智慧的一部分。好，今天就先这样啦！下一篇将发布数学总结篇，欢度国庆～科学羊2024/09/30祝幸福~>> 相关推荐阅读我惊呆了！1 + 2 + 3 + + ∞ = -1/12 ？这是真的吗，这么多正数加起来，结果竟然是一个负分数？答案是对的！0.999...=1 ？仅仅6行字就证明完毕，就这么简单------第5季数学篇「完」------「感恩关注，科学羊持续为您带来最好的科普知识」往期推荐这个数学符号“e"，起源居然和你的财富有关！5万年乃至100万亿年后的地球会怎样的？那是一个你从未见过的世界！为什么说“电子双缝实验”令人感到“毛骨悚然”！我们是谁，我们从何而来，终将去到哪里？