Python求解微分方程，详细版（部分含Matlab）

星运

一、什么是微分方程（一）什么是微分方程微分方程（differentialequation）：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。（二）微分方程分类        如果自变量的个数只有一个，称为常微分方程（Ordinarydifferentialequation，ODE）；如果自变量的个数不止一个，称为偏微分方程（Partialdifferentialequation，PDE）。        线性微分方程（Lineardifferentialequation）：若未知函数与其导数（偏导数）是一次有理整式，则称该微分方程是线性的。        微分方程组：用两个及以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。1、常微分方程一般n阶常微分方程具有如下形式：而n阶线性常微分方程具有如下形式：在牛顿力学中，位移，速度，时间三者之间的关系就是最简单的一阶线性常微分方程： dx /d t=v(t)其中自变量是t，未知函数是x，未知函数的导数是v。再比如传染病模型，是一阶非线性常微分方程：dx / d t=k*x*(n-x)其中自变量是t表示某一时刻；x是未知函数，表示t时刻染病人数；k是传染系数；n是该地区总人数。常见常微分方程的表达式表示如下：令那么n阶常微分方程可用一阶方程组代替：2、偏微分方程设Ω是Rⁿ中的一个集合，x=(x1,x2,…,xn）表示Ω上的一点。 u=u(x):Ω→R表示一个n元函数。记：其中，(i1,i2 ,…,ik）是集合｛1,2,…,n ｝中k个元素的任意排列。那么一般的k阶偏微分方程具有如下形式：k阶线性偏微分方程具有如下形式：其中和f是给定函数；表示多重指标：其中，和f是给定函数。下面是一些经典的微分方程：拉普拉斯方程（Laplaceequation）是最经典的二阶线性偏微分方程：拉普拉斯方程也称为调和方程（Harmonicequation)。调和方程的解称为调和函数(Harmonicfunction)。另外，还有三个典型的二阶线性偏微分方程：在Rm中，二阶线性偏微分方程的一般形式为：其中： （三）微分方程求解步骤1、确定微分方程的类型微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。在解微分方程之前，需要先确定方程的类型，以便选择合适的方法进行求解。2、确定微分方程的阶数微分方程的阶数是指未知函数的最高阶导数的阶数。根据微分方程的阶数，可以选择不同的解法。常见的微分方程阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。3、将微分方程转化为标准形式将微分方程转化为标准形式是解微分方程的关键一步。标准形式可以简化微分方程的求解过程，使问题更清晰明了。转化的方法包括变量代换、换元法、特殊函数等。4、求解微分方程根据微分方程的类型和阶数，选择合适的求解方法。常见的求解方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、级数展开法等。5、验证解的正确性解得微分方程后，需要对解进行验证，确保解符合原微分方程。验证的方法可以通过将解代入原方程，检验等式是否成立，或者对解进行导数运算，验证导数是否满足原方程。6、给出特解或通解根据微分方程的边界条件和初始条件，确定特解或通解。特解是满足特定条件的解，而通解是包含所有特解的解集。通过给定的条件，可以求解出特解或确定通解的形式。7、可视化分析在解的方程后，可进行可视化分析，将解表达为函数图像或曲线。通过可视化分析，可以更直观的理解微分方程的意义和解的特性。二、用python语言求解微分方程的办法（一）一阶微分方程1、一阶线性微分方程（python和Matlab）例如：对一阶线性微分方程g’(x)-g(x)=0求其通解以及当x=0时，g(x)=1的特解求解代码如下：pprint()输出结果如下：print()输出结果如下：一阶微分方程绘图：对一阶微分方程：g’(x)-g(x)=0初值条件为：g(x)=1；绘图代码及结果如下：Matlab写法：一阶线性微分方程g’(x)-g(x)=0通解以及当x=0时，g(x)=1的特解特解：用Matlab写了这一点是因为这学期选了一个科学计数法的网课选修课，它里边讲Matlab，所以对它有一点接触，但不多，刚好提到可以用这个写作业，有点好奇，所以就在网上找了破解版下载了，目前只会求解一阶微分方程和简单的二阶微分方程，还不会画图。解析式求解如下图：对二阶微分方程y ’’- y =0求解：2.一阶非线性微分方程例如：对一阶非线性微分方程g’(x)-g(x)²=0求其通解以及当x=0时，g(x)=-1的特解。代码如下：pprint()输出：print()输出：（二）二阶微分方程例如：g’’(x)-2g’(x)+g(x)-sinx=0初值条件：g(0)=1,g(1)=2；求其通解和特解代码如下：print()输出：二阶微分方程绘图：二阶方程，需要化成两个一阶方程组成的方程组，把每个得到的方程组化成y’=f(x,y)形式，这里的x和y是相对每个方程而言的，因为要求的是数值解，所以需要确定好参数值和初始条件，在odeint中默认输入y=0时因变量的值；确定自变量范围并解方程，绘制图像。解微分方程：y’’(t) - b*y’(t) + y(t) - sint=0，其中b为参数, 令b=2，先化成两个一阶微分方程，如下图所示：代码如下：图形如下：（三）高阶微分方程例如：四解微分方程g’’’’(x)-2g’’’(x)+5g’’(x)=0初值条件：g(0)=1, g(1)=2, g(2)=3, g(3)=4print()输出:如有错误，望大家批评指正！感激不尽！